미분

5ch 컨텐츠 2010/09/11 14:01

어느 진학 학원에 다니는 아이가 아버지에게 자랑스럽게 말했다.
 
「아빠, 나는 지금 학원에서「미분」을 배우고 있어!」

아버지는 놀라 되물었다.
 
「뭐!「미분」이라니, 미분 적분 할 때의, 그 미분?」
「응, 이거봐」
 
아이는 종이와 연필을 꺼내 슥슥 수식을 적었다.
 거기에는……

　(ax^n)＇　=　anx^(n-1)
　(sinx)＇　=　cosx
　(cosx)＇　=　-sinx
　(e^x)　=　e^x
　(logx)＇　=　1/x

라고 써 있었다.

생각해보니, 그 학원 선생님은
 
「우리 학원에서는 초등학생에게 미적분을 가르칠 수 있습니다!」

라고 말했었던가.
 
「이게「미분」이야, 아빠」
 
그렇게 말하는 아들의 모습에 불안을 느낀 아버지는 한 가지 더 질문을 해 보았다.

「과연. 그런데 너 lim[x→0](sinx)/x 는 몇인지 알아? 그리고 왜 그렇게 되는지 알아?」
 
아들은 활기차게 대답했다.
 
「아빤 그것도 몰라? 제로로 나누면 안 돼」
 

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  1. Apoptosis 2010/09/11 14:04  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아이가 초등학생..?
    기초도 없는 아이한테 미분을 가르친다고 다가 아니잖아..!

  2. 지금생각으론 2010/09/11 14:11  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    흠 좀 뜬금없는거같긴한데
    나에게 좀더 재미있게 , 흥미롭게 수학을 가르쳐줄 자상한 선생님이 있었다면
    하는 생각이 드네요. 물론 좀 비겁한 생각인거같기도 하지만
    개인적으로는 사실이에요. 좋아하던선생님이 확률을 가르쳐주셔서
    확률문제만 완벽히 맞추던 기억이 나네요...
    그때 수학에 관심을 두엇다면 지금의 저는 좀더 달라졌을지도 모르겠습니다.
    미안합니다 낮술도아닌데 이런말을 해서,..

  3. 광영 2010/09/11 14:13  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    순간적으로 ax 와 anx 라는 함수가 있었던가? 하고 당황했었다는;;;;

  4. 발로쟈 2010/09/11 14:19  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    수식만 외우게 시켰군요.
    무한수열개념도 없이 미분을 가르치다니..
    미분계수는 가르쳐줬을까요?
    미분의 정의와 미분이 발생한 이유는 알고 있을까요?
    우리나라도 학원에서 이런 일이 발생하고 있을 것 같아
    걱정됩니다.

    • 학생 2010/09/11 20:22  댓글주소  수정/삭제

      무한수열이 뭔가요?

      미분계수는 뭔가요?

      미분의 정의는 뭔가요?

      미분이 발생한 이유는 뭔가요?

      답변 못하면 대대손손 놀릴겁니다.

    • 발로쟈 2010/09/11 21:13  댓글주소  수정/삭제

      수열 an 이라고 했을때

      lim[n→무한대]an 해서 수렴이나 발산 판정하거나
      수렴이라면 수렴값 구하는게 무한수열이고

      미분계수는 다항함수 그래프에서
      x값 a,b가 있다면 (a<b)
      lim[x→b] f(x)-f(b)/x-b
      =f'(a)
      요렇게 점 (a,f(a)) , (b,f(b)) 를 이은 선분의
      기울기를 구하는 식에서 b가 a로 무한히 다가가면
      (a,f(a))에서의 순간적 기울기를 구할 수 있는데
      이게 미분입니당.

    • 발로쟈 2010/09/11 21:12  댓글주소  수정/삭제

      미분이 발생한 이유는 한 점에서의 그래프 상에서
      순간적 기울기를 구하기 위해서.

      라고 설명하면 될 것 같아요.


      그나저나 타이핑으로 설명해본적은 처음이라
      어렵네요. 다음부턴 깝치지 않을게요



      그리고 다들 마지레스 해서 미안해요 ㅠㅠㅠㅠㅠ

    • 아크엔젤 2010/09/12 21:40  댓글주소  수정/삭제

      단순하게 답하면 뉴턴이 '속도에서 가속도를 구하고 싶어서.' 정도면 되지 않을까요.

      실제로 뉴턴은 프린키피아를 위해 미적분을 만들어 낸 것이나 다름없으니까요.

    • dwq 2010/09/13 19:13  댓글주소  수정/삭제

      무한수열개념이 왜나옴ㅋ
      함수의 극한만 알면되는데

    • 행인 2010/09/26 12:42  댓글주소  수정/삭제

      함수의 극한을 하기 전에 함수도 수열이라고 볼 수 있으니까 무한 수열 개념도 필요한거 아닌가요?

      마지레스를 이어라!

  5. Rokemio 2010/09/11 15:09  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이러니 뉴턴이 아무리 유명하다고 해도 미적분 문제 주면 풀수 있었을까요? 드립이 나오는듯ㅋㅋㅋ -_-;;;

    • ㅋㅋㅋ 2010/09/11 16:12  댓글주소  수정/삭제

      저도 그 드립 봤어요
      미분법 발견을 누가했는지도 모르면서 미분드립치는;

  6. ㄷㄷ 2010/09/11 15:38  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미안...17인데도 수업중 늘자셔 뭔소리인지 전혀모르겟어....

  7. jamaisvu 2010/09/11 16:28  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미분 계산을 할줄 안다고 미분을 아는건 아닐텐데 말이죠; 그나저나 저 위의 경우는 아버지가 좋은 분(+ 기본적인 수학 실력 & 아들에 대항 관심) 이라 다행입니다. 아마도 더 좋은 학원으로 옮겨주겠죠. 그렇지 못한 경우라면 우리아들 초등학생인데 벌써 미적분을 안다고 자랑스러워 하고, 아들은 수학에 흥미를 잃는 안습한 상황이.

  8. iska 2010/09/11 18:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미적분 모르는 문과라 슬퍼요.

    • 사탕꽃 2010/09/11 22:08  댓글주소  수정/삭제

      올해부턴 고딩들에게 문과이과 할것 없이
      미적분 과정이 다시 생깁니다.
      이제 문과도 알 수 있어요!ㅎㅎ

      ...문과에 미적분 없던 시기 다닌 사람들만 불쌍해짐..
      그러니까 저요...ㅠㅠ

    • ㅇㅇ 2010/09/12 00:01  댓글주소  수정/삭제

      7차 교육과정의 희생양이시군요..



      제가 그 스타트를 끊은 피해잡니다....ㅠㅠ

    • 랄라라~ 2011/05/13 16:24  댓글주소  수정/삭제

      문과에 미적분이 없던게 전 부러운데요~~

    • 트라이플 2011/05/13 21:12  댓글주소  수정/삭제

      미분적분 안배우고 공대에 입학해서 졸업한 제가 있습니다!

      ....만 제가 미분적분 첫시간부터
      "미분은 미흡하게 나누고 적분은 적절하게 나누는건가요?"
      "저 대문자 S는 왜 써져있는건가요?"등등의
      질문을 해댔더니 그다음해부터는 신입생선발에서 문과생은 안받더군요-_-;;

    • ㅇㅇ 2011/05/14 01:28  댓글주소  수정/삭제

      "서울대 공대"에서 미적분 모르는 애들을 위해 특별코스를 개설하는 세상입니다 (/애도)
      http://news.nate.com/view/20110425n26223

  9. 엥 2010/09/11 18:11  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    문과도 x가 0으로 가는 극한은 배울텐데요

    • 워커 2010/09/15 00:13  댓글주소  수정/삭제

      올해부터는 배웁니다만, 그전에는 안배웠습니다.

    • Zero 2010/09/15 13:09  댓글주소  수정/삭제

      무슨 말씀을…그 전에도 배웠습니다. 올해부터 다시 배유기 시적하는 건 극한이 아니라 미적분이겠지요.

    • 워커 2010/09/15 16:29  댓글주소  수정/삭제

      착각하신듯하네요.
      수열의 극한은 배우지만
      lim _x->0 인 극한은 7차 문과과정에 없습니다.

  10. 빵집언니 2010/09/11 19:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    멍청해서 죄송합니다

  11. 파닥파닥파닥 2010/09/11 19:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    리라쨩 : 계획대로!

    다들 분위기 파악 좀 하시죠

  12. zzz 2010/09/11 20:13  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅇㅂㅇ.....

    .....

    ///....

    중1이라서 모르게쪄요

  13. 아니 2010/09/11 21:22  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    답이 말끔하게 안 나오는 공대생 하나 추가여...
    힌트점 주세여...
    논증이 아름답질 못 해서 마음에 안 차네여

    • ㅁㅁㅁ 2010/09/12 21:05  댓글주소  수정/삭제

      그러니까 우리가 흔히 n이 0으로 가는 극한을 구할 때 매개변수에 그냥 0을 대입해도 답이 맞는 경우가 있잖아요? 그걸 그냥 초등학생한테 "대입하면 된답니다 여러분*^^*"했다는 것 같아요.

  14. 짜파게티 2010/09/11 21:47  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좀 애매한 개근데...
    limit의 정의를 잘 모른다는 뜻인가??

  15. 아 2010/09/11 23:43  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제게도 미분과 적분의 정의를 누가 좀 화끈하게 알려주세요
    그저 수식 외워서 맞췄을 뿐이지 하나도 몰라요
    애초에 함수의 순간적 기울기는 왜 구하려고 한건지 왜 숫자가 아닌 각도라면 의미가 없는지 적분은 왜 미분을 쌓아놓는건지 미적분의 실생활에서의 적용은 어떻게 어느상황에서 이루어지는지

    알쏭달쏭해서 미치겠습니다

    • Belle 2010/09/12 00:08  댓글주소  수정/삭제

      쓰다가 날렸네 툴툴툴... 짧고 간단하게 쓸께요.
      미분이 나온 이유가, 아주 복잡한 그래프나 함수등을 선형근사로 근사값을 편하게 구하려는 목적.
      적분은 좌표+곡선의 넓이를 구하려는 목적. 리만이 정의내려서 리만적분이라고도 불림.
      미분과 적분은 원래 개념은 전혀 관계없으나, 공식이 서로 역연산 되기 때문에 묶어서 배우게 됨.

    • 메가퍼세크 2010/09/12 00:43  댓글주소  수정/삭제

      물리학과 1학년이 심심해서 답변해봅니다.

      물론 물리학적 접근으로 ㅇ;

      *틀린 부분 있으면 밑에 지적해주시기 바랍니다.

      먼저, 거리와 시간이라는 단순한 양이 있죠.
      그런데 예를 들어 달리기를 한다거나, 물체가 얼마나 빨리 떨어지는 지 알고 싶다거나... 할 떄는 '얼마나 빠른가' 즉, '일정한 시간 동안에 얼마나 긴 거리를 이동할 수 있는가' 라는 개념이 필요합니다.
      이 개념이 속도고,
      아시다시피 속도를 구하는 방법은 거리를 시간에 대해 미분하는 겁니다.

      그런데 그렇게 속도를 만들고 보니, 속도가 일정하지 않을 경우가 있군요? ㄱ=?
      가장 간단한 예로 자유낙하. 물체는 점점 빨라지면서 떨어지죠. 자연계에는 이런 현상이 많습니다. 말하자면 등가속도 운동.
      이런 현상을 설명하기 위해 일정 시간 동안 속도가 얼마만큼 변했느냐. 하는 걸 설명하기 위해 가속도라는 개념을 새로 만들었죠.
      이 가속도도 아시다시피 속도의 시간에 대한 미분이구요.

      게다가 가속도에 힘을 곱하면 그 유명한, F=ma에 의해 힘이라는 개념이 도출되죠.

      또 적분은 미분의 역연산이기 때문에 가속도를 알 때 속도를 구한다던가, 속도를 알 때 이동 거리를 구한다던가 할 떄 써먹을 수 있구요.

      미분과 적분을 통해 어떤 개념들을 주무르면
      물리적으로 유용한 개념들이 튀어나오기 때문에 미적분을 쓰는 겁니다~ 적어도 물리적으로는요.

      기울기가 아니라 각도라면 의미가 없는 이유는, 각도를 더해봤자 물리적으로나 뭐나 별 의미 없는 값만 나오니까 그렇죠.(플마 무한대 아니면 0이 나오죠)

      또 그래프에서 보면 미분은 순간적 기울기라고 나오는데, 그 이유는 간단합니다.

      가로축이 어느 정도 움직이는 동안 세로축이 어느 정도 움직이는지 측정한 값이 기울기인데, 그 '어느 정도' 를 매우 작게 만든다고 생각해 보세요.

      한 점에서 가로축이 눈꼽만큼 움직일 때 세로축이 눈꼽만큼 움직이는 정도, 이게 순간적 기울기이고 그 점에서의 미분값입니다.

      적분이 미분을 쌓아놓은 것인 이유는, 개념으로 이해하는게 편합니다.
      위에서 설명했듯이, 미분은 일정 시간 동안 증가한 양을 측정하는 거죠.
      그럼 적분은 그 일정 시간 동안 증가한 양들을
      일정 시간 동안 다시 쌓아 올리는 겁니다.

      구분구적법 배우셨으면 알텐데, 미분은 잘라서 추출하는 거고 적분은 그 자른 걸 다시 붙여서 쌓아가는 과정이죠.

      윗분은 잘못 아시는 것 같습니다. 개념이 전혀 관계없다니;

      미적분의 실생활에서의 적용이라... 미적분은 주로 사용되는 용도가, 어떤 그래프를 미분하거나 적분해서 구한 값을 통해 그 그래프의 특성을 파악하는 등의 일에 자주 쓰입니다.

      예를 들어 가로축이 시간이고 세로축이 개구리 개체 수인 그래프가 있다면, 이 그래프의 미분값이 +일때 개구리의 개체 수는 증가하고 있고, -일때는 감소하고 있죠.

      그 외에 정말 실생활 관련으로 예를 들자면... 전 잘 모르겠습니다. 아랫분에게 맡기죠 ㄱ=;

    • 그러나? 2010/09/12 00:55  댓글주소  수정/삭제

      //
      윗분은 잘못 아시는 것 같습니다. 개념이 전혀 관계없다니;

      윗분이라 하면 전가요 Belle님인가요? 누구를 지적한 것이던간에 이것에 대해 제가 아는 수준에서 설명드리자면

      역사적으로 볼때 미분과 적분은 서로 별개로 가다가 나중에 하나로 묶입니다. 미분과 적분을 하나로 묶어주는게 바로 그 유명한 미적분학의 기본정리 입니다.

      관련이 전혀 없는 것은 아니고 결과론적으로는 하나로 묶이게 되어 있지만, 처음부터 밀접하게 한몸이었는가 하면 그것은 아닌듯. 위에 Belle님도 그런 방향으로 말씀하신 것 같고.

    • 그러나? 2010/09/12 01:04  댓글주소  수정/삭제

      음 제가 틀린게 맞네여. 미적분학의 기본정리는 이미 뉴턴시대에 있었네요. 죄송. 위에 리플 수정할라고 하는데 암호가 틀려서 고치질 못하겠음;;;

    • 와!! 2010/09/12 11:48  댓글주소  수정/삭제

      답변들 주셔서 감사합니다
      뭔가 개념이 잡혔어요!신기......

      참고로 개구리 개체수 증가 예시가 저한텐 꼭 와닿는군요 미분을 이용해 현상을 파악할 수 있다는 말씀인거죠?
      이젠 조금 즐겁게 문제를 풀 수 있을 것 같네요!!

  16. 똥배28호 2010/09/12 00:53  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미분 = 쌀가루.
    적분 = 빨간 가루.

  17. retina 2010/09/12 15:23  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    7차를 제외하면 모든 교육과정에서 미분을 배우던가? 아닌거 같은데..

  18. ㅇㄹ 2010/09/12 17:04  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    6차까지는 문이과 구분없이 무조건 미적분이 교육과정 포함이었음.

  19. 발로쟈 2010/09/12 20:15  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미분은 적분 거꾸로 하는거고 적분은 미분 거꾸로 하는거에요.

    ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

  20. 마키 2010/09/12 21:20  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    .........(문과출신은 그저 묵언수행)

  21. 아크엔젤 2010/09/12 21:47  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    일본에서만 저런 건 아니지 말입니다. -_-;

  22. ㅇ 2010/09/12 22:33  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그럼 인분은 뭐죠?

  23. Neon 2010/09/13 11:25  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이공계 대학생인데... 답이 1이란건 알지만 딱히 이유를 설명하기는 힘들군요. 잠깐 sin 함수의 정의가 뭐였더라...

    • 후 2010/09/13 16:07  댓글주소  수정/삭제

      그러네요

      로피탈로 풀면 된다는건 알겠는데

      설명은 못하겠네요[..]

    • lots 2010/09/13 21:12  댓글주소  수정/삭제

      lim[x→0](sinx)/x = lim[x→0](sinx - sin0)/(x-0) 는 x = 0 에서의 사인 함수의 미분값의 정의입니다. 저 아버지는 로피탈의 정리를 물어본 게 아니라 그냥 미분의 정의를 알고 있는지 확인해 본 거라고요. --;;

    • 행인 2010/09/15 15:43  댓글주소  수정/삭제

      lots//그걸로 문제의 답은 나오지만, "왜"인지는 알수 없죠...
      아니면 "그냥 정의가 그러니까"? ㄲㄲㄲ

    • 같나요? 2010/09/16 23:49  댓글주소  수정/삭제

      lim[x→0](sinx)/x =(?) lim[x→0](sinx - sin0)/(x-0)
      앞에껀 1이고 뒤에껀 cosx인거 같은데요.

    • lots 2010/09/21 01:09  댓글주소  수정/삭제

      같나요?/ lim[x→0](sin x - sin 0)/(x-0) = cos 0 입니다. 1과 같죠.
      cos x = lim[y→x](sin y - sin x)/(y-x) 입니다.

      행인/ 사인함수의 미분이 왜 코사인이 되는 건지 모르신다는 건... --ㅋ

  24. 1223 2010/09/13 19:22  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저거 삼각형이랑 부채꼴로 증명하는거 고딩때배우는건데
    윗분들 공부를 얕게하셨군요

  25. MOREKOOL 2010/09/14 04:09  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    뭔 말인지 몰라서 다음 게시물 읽기전에 댓글 단 제가 여기있습니다.

  26. ATN 2010/09/14 22:04  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    말문이 막혀버린 (전)이과생 1인... 저걸 잊어버리다니 아아아아아악

  27. 이공계 2010/09/14 22:07  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그런데 왜 아무도 logx를 미분해서 1/x가 된것이 태클을 걸지 않는걸까요?
    명백히 틀린건데...

    • duel 2010/09/15 00:49  댓글주소  수정/삭제

      자연로그를 그냥 log 로 쓰는 경우도 많거든요. 고등학교까지는 표기법이 통일되어 있지만, 대학 교재를 보면 책마다 다 자기 마음대로 씁니다. --ㅋ

    • Kou 2010/09/15 01:00  댓글주소  수정/삭제

      수학과는 오히려
      자연로그가 logx인게 스탠다드예요..

    • 행인 2010/09/15 15:42  댓글주소  수정/삭제

      근데 ln이 쓰기 더 쉽지않나...

  28. 고2인데 2010/09/15 23:14  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    모르겠어요...엄마 미안.

  29. 혹시 2010/09/15 23:15  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    응 나는 문과니까...

  30. 흑형과존슨 2010/09/22 02:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이런 글 하나에 수많은 답글이 달리는 것을 보면 우리나라의 교육이 꼭 실패한 것만은 아닌듯 하네요

  31. 박판 2010/09/26 11:59  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    공돌이출신이라그런지 이런 리플이 무척 재미있네요 OTL...

  32. 오조 2010/09/29 16:38  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    -- 역시 난 안돼

  33. 333 2014/03/26 13:29  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    문과에 경제랑 거리가 먼 나는 그냥 존나 가만히 있어야겠다..

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